CORDIC

三角学
历史（英语：History of trigonometry） 三角函数 (反三角函数) 广义三角函数（英语：Generalized trigonometry）
参考
恒等式 精确值 三角表（英语：Trigonometric tables） 单位圆
定理
正弦 餘弦 正切 餘切 勾股定理
微积分
三角换元法 积分 (反三角函数) 微分
查 论 编

CORDIC（英語：Coordinate rotation digital computer），也稱為Volder演算法（英語：Volder's algorithm），是一個可以計算三角函數，簡單且有效率的演算法，可以在任意進制下運算，一般會每次計算一位數字。因此CORDIC屬於逐位計算（Digit-by-digit）方法中的一個例子。

CORDIC演算法還有其他的名稱，像是圓形CORDIC (Jack E. Volder)^[1][2]、線性CORDIC、雙曲線CORDIC(John Stephen Walther)^[3][4]、及泛用雙曲線CORDIC（GH CORDIC, Yuanyong Luo et al.）^[5][6]。用類似的方式也可以計算雙曲函數、平方根、乘法、除法、指數及對數等。

CORDIC和一些名為「偽乘法」（pseudo-multiplication）、「偽除法」（pseudo-division）及factor combining的方法，常用在沒有乘法器的應用（像是簡單的微控制器以及FPGA），其中會用到的運算是加法、減法、位元移位及查找表。這些算法可歸類在「移位和相加」（shift-and-add）演算法中。在計算機科學中，若CPU沒有硬體的乘法器，常會用CORDIC來實現浮点数运算。

英國數學家亨利·布里格斯（英语：Henry Briggs (mathematician)）早在1624年時就已發現此算法^[7][8]，後來Robert Flower也在1771年時發現^[9]，不過後來是因為低複雜度的有限狀態CPU，才針對CORDIC作較進一步的最佳化。

CORDIC是在1956年問世^[10][11]，是由康维尔空氣電子部門的Jack E. Volder（英语：Jack E. Volder）發現，一開始是因為要取代B-58轟炸機（英语：B-58 Hustler）導航電腦上面的類比式解角器（resolver），更換成更準確而實時的數位方案^[11]。因此，有時也會將CORDIC稱為數位解角器（digital resolver）^[12][13]。

Volder的研究，是因為1946年版CRC化学和物理手册中的公式而得到靈感^[11]：

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}R\sin(\theta \pm \varphi )&=R\sin(\theta )\pm 2^{-n}R\cos(\theta ),\\K_{n}R\cos(\theta \pm \varphi )&=R\cos(\theta )\mp 2^{-n}R\sin(\theta ),\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle \varphi }$是使${\displaystyle \tan(\varphi )=2^{-n}}$成立的值，且${\displaystyle K_{n}:={\sqrt {1+2^{-2n}}}}$。

他的研究最後產生了一個內部的技術報告，提到用CORDIC演算法來求解正弦及餘弦函數，以及一個實現此功能的原型電腦^[10][11]。報告中也提到用修改版的CORDIC演算法計算雙曲函數、座標旋轉、對數及指數的可能性^[10][11]。用CORDIC來進行乘法和除法運算的想法也是在此時形成^[11]。依照CORDIC演算法的原則，Volder的同事Dan H. Daggett發展了在二進位以及二進碼十進數（BCD）之間轉換的演算法^[11][14]。

CORDIC用簡單的移位和相加運算來處理像是三角函數、雙曲函數、對數函數、實數及複數乘法、除法、方根計算、線性系統求解、特徵值估測、奇异值分解、QR分解等。因此，CORDIC可以用在許多的應用中，像是信號處理、影像處理、通訊系統、机器人学及三维计算机图形等^[15][16]。

若沒有硬體乘法器的話，CORDIC一般會比其他算法要快很多，若是用FPGA或ASIC的話，使用的邏輯閘也會少很多。

CORDIC是FPGA開發應用程式（像是Xilinx的Vivado）中的標準半导体IP核，而不是使用特殊函數的冪級數實現，其原因是CORDIC IP的通用性，CORDIC可以計算許多不同的函數，而為特定函數開發的乘法器只能計算特定的函數。

另一方面，若有硬體乘法器（例如DSP），查表法及冪級數會比CORDIC快很多。近年來，CORDIC演算法常用在生醫應用中，尤其是用FPGA實現的應用^{[來源請求]}。

使用泰勒级数的問題是此方法可以產生小的絕對誤差，但其中沒有良態的相對誤差^[17]。其他多項式近似法，例如Minimax近似演算法（英语：Minimax approximation algorithm），可以同時控制這二種的誤差。

在CPU只有整數運算的古老系統中，會將CORDIC放在其IEEE 754函式庫的一部份。現代的通用CPU已有浮點運算暫存器，也有加法、減法、乘法、除法、三角函數、平方根、一般對數、自然對數等，幾乎沒有用到CORDIC的場合。只有一些有特殊安全性或是時間要求的應用程式才會用到CORDIC。

CORDIC可以用來計算許多不同的函數。以下說明如何在旋轉模式（rotation mode）下的CORDIC計算角度的正弦函數和餘弦函數，假設角度以弧度的定點格式表示。要找到一個角度${\displaystyle \beta }$的正弦函數和餘弦函數，可以在單位圓上找到對應角度的y座標和座標。利用CORDIC，會從以下的向量${\displaystyle v_{0}}$開始：

${\displaystyle v_{0}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.}$

在第一次的迭代時，向量逆時針轉45°，得到向量${\displaystyle v_{1}}$。接著繼續的迭代，每一次的角度漸漸變小，旋轉方向可能順時針，也可能逆時針，直到得到想要的角度為止。每一次的角度為${\displaystyle \gamma _{i}=\arctan {(2^{-i})}}$，其中${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$。

若以更正式的方式表示，每一次的迭代就是一次旋轉，也就是將向量${\displaystyle v_{i}}$乘以旋转矩阵${\displaystyle R_{i}}$：

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}.}$

旋转矩阵為

${\displaystyle R_{i}={\begin{bmatrix}\cos(\gamma _{i})&-\sin(\gamma _{i})\\\sin(\gamma _{i})&\cos(\gamma _{i})\end{bmatrix}}.}$

利用以下兩個三角恆等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\gamma _{i})&={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}},\\\sin(\gamma _{i})&={\frac {\tan(\gamma _{i})}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}},\end{aligned}}}$

旋转矩阵變成

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}}{\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}.}$

旋转向量${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}}$就會變成下式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}}{\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

其中${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle y_{i}}$是${\displaystyle v_{i}}$的分量，若將角度${\displaystyle \gamma _{i}}$限制在使${\displaystyle \tan(\gamma _{i})=\pm 2^{-i}}$的值，和tangent的乘法就以變成乘（或除）2的幂次，在數位電腦硬體中可以快速的用位元右移或左移來計算。因此上法會變成

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=K_{i}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

其中

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

且${\displaystyle \sigma _{i}}$是用來判斷旋轉方向的。若角度${\displaystyle \gamma _{i}}$為正，則${\displaystyle \sigma _{i}}$為+1，否則則為−1。

所有的${\displaystyle K_{i}}$因子可以在迭代過程中忽略，最後再一次乘以${\displaystyle K(n)}$因子即可：

${\displaystyle K(n)=\prod _{i=0}^{n-1}K_{i}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

此數可以事先計算好存在表格中，若迭代次數是固定的，只需計算一個常數且儲存即可，甚至此修正也可以事先進行，將常數先乘以${\displaystyle v_{0}}$，可以節省一次乘法。另外，可以注意到^[18]

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K(n)\approx 0.6072529350088812561694}$

因此可以簡化演算法的複雜度。有些應用會避免修正${\displaystyle K}$，因此此演算法本身會帶一個增益${\displaystyle A}$^[19]：

${\displaystyle A={\frac {1}{K}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}\approx 1.64676025812107.}$

在夠多次的迭代後，向量的角度會接近想要的角度${\displaystyle \beta }$。以一般的應用來說，40次的迭代（n = 40）已可以有小數10位的精度。

唯一未解決的問題是判斷每一次迭代要順時針旋轉或逆時針旋轉（選擇${\displaystyle \sigma }$的值）。這可以記錄每一次旋轉的角度，從還需要旋轉的角度中減去此一角度，會得到下一個還需要旋轉的角度${\displaystyle \beta }$。若${\displaystyle \beta _{n+1}}$為正，需要順時針旋轉，否則，就需要順時針旋轉：

${\displaystyle \beta _{0}=\beta }$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-\sigma _{i}\gamma _{i},\quad \gamma _{i}=\arctan(2^{-i}).}$

${\displaystyle \gamma _{n}}$的值需要事先計算且記錄下來。不過若是小角度，根據小角度近似，在定點數下可得${\displaystyle \arctan(\gamma _{n})=\gamma _{n}}$，因此可以節省儲存用的空間。

如以上所述，角度${\displaystyle \beta }$的正弦函數為其y坐標，餘弦函數為其x坐標。

上述旋轉模式的演算法，是旋轉原來位在x軸上的單位向量。但此演算法可以用來旋轉角度在−${\displaystyle \pi /2}$及${\displaystyle \pi /2}$之間的任意向量，旋轉的方向則依${\displaystyle \beta _{i}}$的正負號決定。

向量模式下的演算法和旋轉模式略有不同。其啟始向量的x坐標要為正值，y坐標則為任意值。持續轉動的目的是將向量旋轉到x軸（因此y座標為0）。每一步裡的旋轉方向會由y的值決定。${\displaystyle \beta _{i}}$的最終值包括了總旋轉角度。x的最終值是原向量的大小，再乘以K。因此，可以看出向量模式可以進行直角坐標到極坐標的轉換。

Java的Math類別中有scalb(double x,int scale)方法可以實現二進位的移位^[20]，C語言有ldexp函數^[21]，x86處理器有fscale浮點運算^[22]。

from math import atan2, sqrt, sin, cos, radians

ITERS = 16
theta_table = [atan2(1, 2**i) for i in range(ITERS)]

def compute_K(n):
    """
    Compute K(n) for n = ITERS. This could also be
    stored as an explicit constant if ITERS above is fixed.
    """
    k = 1.0
    for i in range(n):
        k *= 1 / sqrt(1 + 2 ** (-2 * i))
    return k

def CORDIC(alpha, n):
    K_n = compute_K(n)
    theta = 0.0
    x = 1.0
    y = 0.0
    P2i = 1  # This will be 2**(-i) in the loop below
    for arc_tangent in theta_table:
        sigma = +1 if theta < alpha else -1
        theta += sigma * arc_tangent
        x, y = x - sigma * y * P2i, sigma * P2i * x + y
        P2i /= 2
    return x * K_n, y * K_n

if __name__ == "__main__":
    # Print a table of computed sines and cosines, from -90° to +90°, in steps of 15°,
    # comparing against the available math routines.
    print("  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine ")
    for x in range(-90, 91, 15):
        cos_x, sin_x = CORDIC(radians(x), ITERS)
        print(
            f"{x:+05.1f}°  {sin_x:+.8f} ({sin_x-sin(radians(x)):+.8f}) {cos_x:+.8f} ({cos_x-cos(radians(x)):+.8f})"
        )

$ python cordic.py
  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine
-90.0°  -1.00000000 (+0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)
-75.0°  -0.96592181 (+0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
-60.0°  -0.86601812 (+0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
-45.0°  -0.70711776 (-0.00001098) +0.70709580 (-0.00001098)
-30.0°  -0.50001262 (-0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
-15.0°  -0.25883404 (-0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+00.0°  +0.00001759 (+0.00001759) +1.00000000 (-0.00000000)
+15.0°  +0.25883404 (+0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+30.0°  +0.50001262 (+0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
+45.0°  +0.70709580 (-0.00001098) +0.70711776 (+0.00001098)
+60.0°  +0.86601812 (-0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
+75.0°  +0.96592181 (-0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
+90.0°  +1.00000000 (-0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)

實現CORDIC需要的邏輯閘大約和乘法器相當，兩者都是用位元移位和加法所組合的。要選擇乘法器或是CORDIC會隨應用而定。若複數以其實部和虛部表示（直角座標），複數乘法會需要進行四次的乘法。但若複數以極座標表示，只要一個CORDIC即可處理，這更適合用在其乘積的量值不重要的應用（例如將向量和單位圓上的向量相乘的情形）。在數位下轉換器（英语：digital down converter）之類的通訊相關電路中，常會用到CORDIC。

在Vladimir Baykov的二篇文獻中^[23][24]，曾經提到用「雙重迭代」（double iterations）來實現反正弦函數、反餘弦函數、自然對數、指數函數以及雙曲函數。雙重迭代中的作法和傳統的CORDIC演算法不同，傳統的CORDIC演算法中，迭代變數會在每次迭代時加一。但在雙重迭代中，迭代變數會先重複一次，然後才加一。因此雙重迭代CORDIC演算法的迭代變數會是${\displaystyle i=0,0,1,1,2,2\dots }$，而傳統CORDIC演算法的迭代變數是${\displaystyle i=0,1,2\dots }$。雙重迭代法保證方法的收斂，不過其引數的有效範圍會變化。

針對${\displaystyle R}$進制數字系統中，通用的CORDIC收斂問題，可以證明^[25]針對正弦、餘弦及反正切函數，每一個i（i = 0或1到n，其中n是位數）進行${\displaystyle R-1}$次迭代就可以保證收斂。若是自然對數、指數、雙曲正弦、雙曲餘弦及雙曲反正切函數，每一個i需要進行${\displaystyle R}$次迭代。若是反正弦函數及反餘弦函數，每一個i需要進行2 ${\displaystyle R-1}$次的迭代^[25]。

若是雙曲反正弦及雙曲反餘弦函數，每一個i需要進行2R次的迭代。

CORDIC屬於「移位及加法」（shift-and-add）的演算法，就像Henry Briggs文獻提到的對數和指數演算法一樣。BKM演算法（英语：BKM algorithm）也是可以計算許多基本函數的移位及加法演算法，是複數平面下對數和指數演算法的推廣。BKM可以計算實數角度${\displaystyle x}$（以弧度表示）的正弦和餘弦，其方式是計算${\displaystyle 0+ix}$的指數，也就是${\displaystyle \operatorname {cis} (x)=\cos(x)+i\sin(x)}$。BKM演算法比CORDIC要複雜一些，但其優點是不需考慮比例因子（K）。

• 計算方根的方法（英语：Methods of computing square roots）
• IEEE 754
• 浮点运算器